3， 4， 55 ，12 ，137， 24 ，259 ，40 ，4111， 60 ，6113 ，84， 8515， 112 ，1138，15，1712，35，3748，55，73勾股数，又名毕氏三元数 。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²。

勾股定理在西方被称为Pythagoras定理，它以公元前6世纪希腊哲学家和数学家的名字命名。

可以有理由认为他是数学中最重要的基本定理之一，因为他的推论和推广有着广泛的引用。

虽然这样称呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，实际上比Pythagoras早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理，在Plimpton 322泥板上的数表提供了这方面的证据，这块泥板的年代大约是在公元前1700年。

对勾股定理的证明方法，从古至今已有400余种。

扩展资料：证明a=2mnb=m²-n²c=m²+n²证：假设a²+b²=c²，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）如果a,b均奇数，则a² + b² = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。

不妨设a=2k等式化为4k² = (c+b)(c-b)显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数往证：(M,N)=1如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾所以(M,N)=1得证。

依照算术基本定理，k² = p₁a₁×p₂a₂×p₃a₃×…，其中a₁,a₂…均为偶数，p₁,p₂,p₃…均为质数如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾　所以对于所有质因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方数。

设M = m², N = n²从而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 从而a=2mn推广形式关于勾股数的公式还是有局限的。

勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。

比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式计算出来 [5]  。

但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解！其中规定m>n>0（两负数相乘可抵消固不考虑），(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数。

参考资料来源：百度百科——勾股数。