想必现在有很多小伙伴对于如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA=PB=AB=2\)，\(BC=3\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，平面\(PAB⊥\)平面\(ABC\)，\(D\)、\(E\)分别为\(AB\)、\(AC\)中点．\((1)\)求证：\(DE\/\!\/\)平面\(PBC\)； \((2)\)求证：\(AB⊥PE\)； \((3)\)求二面角\(A-PB-E\)的大小．","title_text":"如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA=PB=AB=2\)，\(BC=3\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，平面\(PAB⊥\)平面\(ABC\)，\(D\)、\(E\)分别为\(AB\)、\(AC\)中点．\((1)\)求证：\(DE\/\!\/\)平面\(PBC\)； \((2)\)求证：\(AB⊥PE\)； \((3)\)求二面角\(A-PB-E\)的大小．方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA=PB=AB=2\)，\(BC=3\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，平面\(PAB⊥\)平面\(ABC\)，\(D\)、\(E\)分别为\(AB\)、\(AC\)中点．\((1)\)求证：\(DE\/\!\/\)平面\(PBC\)； \((2)\)求证：\(AB⊥PE\)； \((3)\)求二面角\(A-PB-E\)的大小．","title_text":"如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA=PB=AB=2\)，\(BC=3\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，平面\(PAB⊥\)平面\(ABC\)，\(D\)、\(E\)分别为\(AB\)、\(AC\)中点．\((1)\)求证：\(DE\/\!\/\)平面\(PBC\)； \((2)\)求证：\(AB⊥PE\)； \((3)\)求二面角\(A-PB-E\)的大小．方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

解：(()Ⅰ()∵D)、(E)分别为(AB)、(AC)中点， (∴DE/!/BC)．(∵DE⊄)平面(PBC)，(BC⊂)平面(PBC)。

(∴DE/!/)平面(PBC.…(4)分()) (()Ⅱ())连接(PD)， (∵PA=PB)，(D)为(AB)中点。

(∴PD⊥AB.)(….(5)分()) (∵DE/!/BC)，(BC⊥AB)， (∴DE⊥AB…(6)分()) 又(∵PD∩DE=D)。

(PD)，(DE⊂)平面(PDE) (∴AB⊥)平面(PDE…(8)分()) (∵PE⊂)平面(PDE)， (∴AB⊥PE…(9)分()) (()Ⅲ()∵AB⊥)平面(PDE)。

(DE⊥AB…(10)分()) 如图，以(D)为原点建立空间直角坐标系，由(PA=PB=AB=2)。

(BC=3)， 则(B(1,0,0))，(P(0,0, sqrt {3}))。

(E(0, dfrac {3}{2},0))， (∴ overrightarrow{PB}=(1,0,- sqrt {3}))，( overrightarrow{PE}=(0, dfrac {3}{2},- sqrt {3}).) 设平面(PBE)的法向量( overrightarrow{n_{1}}=(x,y,z))。

(∴ begin{cases} overset{x- sqrt {3}z=0}{ dfrac {3}{2}y- sqrt {3}z=0}end{cases}) 令(z= sqrt {3}) 得( overrightarrow{n_{1}}=(3,2, sqrt {3})…(11)分()) (∵DE⊥)平面(PAB)， (∴)平面(PAB)的法向量为( overrightarrow{n_{2}}=(0,1,0).…(12)分()) 设二面角的(A-PB-E)大小为(θ)， 由图知。

(cos θ=cos < overrightarrow{n_{1}}, overrightarrow{n_{2}} > = dfrac {| overrightarrow{n_{1}}cdot overrightarrow{n_{2}}|}{| overrightarrow{n_{1}}|cdot | overrightarrow{n_{2}}|}= dfrac {1}{2})， 所以(θ=60^{circ})， 即二面角的(A-PB-E)大小为(60^{circ}…(14)分()) 。

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